Mathe-Spezialisten gesucht: Wahrscheinlichkeitsrechnung

[Sad Mo S.]

Nein, die w'keit, dass im 6 wurf zahl kommt ist 1/2! in dieser rechnung wird auch berücksichtigt, dass in den vorgegangenen 5 würfen ebenfalls kopf geworfen worden sein muss!! (siehe fragestellung)

eben: macau will damit zeigen, dass 11% rein logisch gesehen keinen sinn macht

[Sad Mo S.]

Wenn 5 Mal Kopf gekommen ist, kommt zu 98.59 % wieder Kopf


Eigentlich ziemlich einfach

stimmt nun diese antwort oder wo liegt der denkfehler?

[macau]

stimmt nun diese antwort oder wo liegt der denkfehler?

Die Wahrscheilichkeit, nach 5 Kopfwürfen die Doppelkopfmünze in den Händen zu haben, wurde von diversen Autoren unabhängig voneinander mit 78 % berechnet. Dieser Wert kann als korrekt angesehen werden.

Diese 78 % sind aber lediglich die Wahrscheinlichkeit, die Doppelkopfmünze in den Händen zu haben und nicht die Wahrscheinlichkeit, die Doppelkopfmünze in den Händen zu haben un 5 Mal hintereinander die gleiche Seite geworfen zu haben.

Somit ist die Gegenwahrscheinlichkeit von 22 % zwar die normale Münze, aber auch ohne die Bedingung, dass 5 Mal hintereinander Kopf kam. Aus diesem Grund kann dieser Wert für die Berechnung nicht verwendet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Mal Kopf und dann Zahl kommt, lässt sich exakt berechnen. Die Antwort auf die Frage muss die Gegenwahrscheinlichkeit sein.

Solange Niemand diese Aussage widerlegt, kannst du sie als richtig betrachten.

EDIT: Die fast richtige Lösung wurde schon relativ früh im anderen Forum gepostet:

Actually, I think that might be right. It may be easier to think of this as 1-P(tail). So, HHHHHT is .5^6. 1 - .5^6 = .984375


HHHHHT ist aber 0.9 * .5^6.
1 - 0. 9 * .5^6 = 0.9859375

[nobilissa]

Die Wahrscheinlichkeit ist und bleibt 0.55. Es sei denn, die Münzen hätten ein Gedächtnis.

[guybrush]

Die erste Berechnung ist richtig: Die Wahrscheinlichkeit für 5 Mal Kopf mit normaler Münze ist 9/320 oder 0.028125 resp 2.81 %

Die zweite Berechnung ist auch richtig: Die Wahrscheinlichkeit der Doppelkopfmünze ist 78 %.

ABER: Die folgende Annahme ist falsch, die Wahrscheinlichkeit für die richtige Münze ist nur 2.81%, wie die erste Berechnung ergeben hat. Die beiden Wahrscheinlichkeiten geben zusammen nicht 100 %. In der "Unsicherheit" von 22 % sind eben auch normale Münzen enthalten, die nicht 5 Mal hintereinander Kopf gezeigt haben.

Dein "aber" leuchtet mir nicht ganz ein. Hat mir aber keine Ruhe gelassen.
Ich habe darum eine kleine Simulation geschrieben, und siehe da:

Code: Alles auswählen

Anzahl Ziehungen: 100000000
Anzahl Ziehungen mit 5mal Kopf: 12813388
Anzahl Ziehungen mit 6mal Kopf: 11406454, davon Doppelkopf: 10000913, Normal: 1405541
Häufigkeit mit welcher nach fünfmal Kopf nochmals Kopf geworfen wird:[B]0.89019[/B]8127146388

Link zum Programm: muenzen.exe

[comenden]

@guybrush: Könnte in etwa hinkommen. Habe es aber nicht programmiert.
Ich habe die Aufgabenstellung wiefolgt verstanden:

Pseudo Code:

For i0=1 to 1000000

randomMünze=random(11)
if randomMünze=1 then
i3=i3+1 'Münze=Doppelkopf
else
i2=0
For i1 = 1 to 6
Münzwurf=random(2)
if Münzwurf=1 then i2=i2+1
next i1

if i2=6 then i3=i3+1
end if

next i0

Ergebnis=1-i3/1000000

[macau]

Dein "aber" leuchtet mir nicht ganz ein. Hat mir aber keine Ruhe gelassen.
Ich habe darum eine kleine Simulation geschrieben, und siehe da:

Code: Alles auswählen

Anzahl Ziehungen: 100000000
Anzahl Ziehungen mit 5mal Kopf: 12813388
Anzahl Ziehungen mit 6mal Kopf: 11406454, davon Doppelkopf: 10000913, Normal: 1405541
Häufigkeit mit welcher nach fünfmal Kopf nochmals Kopf geworfen wird:[B]0.89019[/B]8127146388

Ich liebe Monte-Carlo Simulationen, da bekommt man ohne Denken das richtige Resultat und kann dann erklären, weshalb es so ist...

Mein Fehler war, dass ich auf der Zeitachse vom ersten Wurf ausging. Dies darf man aber nur für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Doppelkopfmünze, für die letzte Berechnung (Wahrscheinlichkeit Kopf) muss man natürlich vom fünften Wurf ausgehen.


Aus dem anderen Forum bereits das Nachfolgeproblem:

In einem Sack sind 10 Würfel, 9 normale und einer ohne 6, aber mit 2 Mal 5.

Ein Würfel wird aus dem Sack gezogen und anschliessend gewürfelt.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Mal 5 nochmals 5 kommt?

[Sad Mo S.]

EDIT: Die fast richtige Lösung wurde schon relativ früh im anderen Forum gepostet:

Actually, I think that might be right. It may be easier to think of this as 1-P(tail). So, HHHHHT is .5^6. 1 - .5^6 = .984375


HHHHHT ist aber 0.9 * .5^6.
1 - 0. 9 * .5^6 = 0.9859375

irgendwie ist da doch ein denkfehler drin. oben wird berechnet:

wie gross ist die wahrscheinlichkeit, dass eine münze gezogen wird, diese dann 6 mal geworfen, und dann die wahrscheinlichkeit HHHHHT rauskommt? diese wahrscheinlichkei ist: 0.9 * 0.5^6

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist aber, dass der obige fall ja nicht eintritt: also wird in 98.59% der Fälle NICHT die Sequenz HHHHHT auftreten... (dies heisst aber nicht, dass es HHHHHH sein muss... könnte auch THHHTH sein).

man missachtet also, dass die ersten 5 würfe als gegeben sind.


edith: ah hast du ja selber rausgefunden

[macau]

Wenn man die Lösung weiss, kann man das Problem nochmals in Ruhe analysieren.

Es gibt einen einfachen Lösungsweg, ohne die Wahrscheinlichkeit des Doppelkopfs ausrechnen zu müssen:


Die Anzahl Versuche mit 5 Köpfen hintereinander entsprechen 0.1 + 0.9 * 1/32 (das ist 100 %)


Die Anzahl Versuche mit Zahl im sechsten Wurf entspricht 0.9 * 1/64

eine Einfache Prozentrechnung:

100 * (0.9 * 1/64) / (0.1 + 0.9 * 1/32) ergibt Anzahl Zahlversuche im letzten Wurf

Die gesuchten Kopfwürfe im letzten Versuch ist demnach

100 - (100 * (0.9 * 1/64) / (0.1 + 0.9 * 1/32)) = 89.0243902 %

oder noch einfacher: 1 -(0.9 * 1/64 / (0.1 + 0.9 * 1/32)) = 0.890243902

[irgend]

Nun kann man die ersten 5 Wuerfe ja nicht einfach ignorieren, denn je laenger diese Serie andauert, desto groesser ist die Wahrscheinlichkeit, dass man die Muenze mit zweimal Kopf gezogen hat. Also wenn nach unendlich vielen Wuerfen immer Kopf kommt, waehre der unendlich+1. Wurf mit p=1 Kopf.

Ich empfehle 'Kombinatorik und W'keitsrechnung 101'

[Kawa]

Also wenn nach unendlich vielen Wuerfen immer Kopf kommt, waehre der unendlich+1. Wurf mit p=1 Kopf.

Was ist unendlich+1

[Sad Mo S.]

Ich liebe Monte-Carlo Simulationen, da bekommt man ohne Denken das richtige Resultat und kann dann erklären, weshalb es so ist...

Mein Fehler war, dass ich auf der Zeitachse vom ersten Wurf ausging. Dies darf man aber nur für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Doppelkopfmünze, für die letzte Berechnung (Wahrscheinlichkeit Kopf) muss man natürlich vom fünften Wurf ausgehen.


Aus dem anderen Forum bereits das Nachfolgeproblem:

In einem Sack sind 10 Würfel, 9 normale und einer ohne 6, aber mit 2 Mal 5.

Ein Würfel wird aus dem Sack gezogen und anschliessend gewürfelt.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Mal 5 nochmals 5 kommt?

17.1226% ?

[unwichtig]

Actually, I think that might be right. It may be easier to think of this as 1-P(tail). So, HHHHHT is .5^6. 1 - .5^6 = .984375[/B]


HHHHHT ist aber 0.9 * .5^6.
1 - 0. 9 * .5^6 = 0.9859375

muss mir das zuhause mal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen...

[Sad Mo S.]

Aus dem anderen Forum bereits das Nachfolgeproblem:

In einem Sack sind 10 Würfel, 9 normale und einer ohne 6, aber mit 2 Mal 5.

Ein Würfel wird aus dem Sack gezogen und anschliessend gewürfelt.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 5 Mal 5 nochmals 5 kommt?

29.675% also

[macau]

muss mir das zuhause mal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen...

musst du nicht.

Die Lösung:

kompliziert dargestellt http://www.fcbforum.ch/showpost.php?p=1 ... stcount=16

einfach dargestellt http://www.fcbforum.ch/showpost.php?p=1 ... stcount=37